Segundo parcial

Hola a todos,

decidí correr la fecha de entrega para la clase del miércoles entrante. Haré horas de oficina entonces el lunes entre 9 y 10 am.

Note que hay tres maneras distintas de contestar el parcial:

1. Contestar los cinco puntos de cinturón blanco y uno solo de los de kyu.

2. Contestar uno solo de cinturón blanco y tres de nivel kyu.

3. Contestar solo uno de kyu y el cinturón negro.

Las tres maneras son igualmente aceptables - puede sacar cinco con cualquiera de los tres caminos.

Si el lunes de 9 a 10 am no le sirve, y tiene preguntas, escríbame para cuadrar una fecha.

Haga clic en la imagen para bajar el parcial.

 

av

clausuras - la pregunta de Alf

Hoy preguntó Alf qué pasa si uno considera como “clausura algebraica” de X (subconjunto de M en alguna cea) la intersección de todos los modelos N que contienen a X… y mencionó que yo había mencionado algo así hace un par de años… no pude contestar nada hoy en clase, pero aquí va algo…

Por pura casualidad, leyendo otra cosa, me encontré con lo siguiente en Baldwin-Shelah sobre ejemplos de no docilidad:

1. Una cea admite clausuras si para todo , existe una clausura minimal de , es decir, .

2. Cuando admite clausuras, esta relación tiene monotonía, carácter finito y transitividad.

3. Mencionan que lo anterior fue caracterizado en primer order por Michael Rabin en un artículo de 1962.

4. Incluye fuertemente minimales y o-minimales.

5. Se tiene trivialmente cuando hay funciones de Skolem.

6. Lo usan para lo siguiente: cuando una clase admite clausuras, la relación de equivalencia que usamos en la definición de tipo de Galois es transitiva, incluso cuando la clase no tiene AP. Este hecho es muy fuerte.

7. También permite calcular tipos de Galois mediante isomorfismos de las clausuras.

8. Finalmente, si uno está interesado en calcular espectros , tienen otro resultado interesante: dada una clase en lenguaje relacional que admita clausuras, se puede construir una clase asociada con el mismo espectro de y que admite clausuras con eliminación de cuantificadores. Esto último significa que el valor de “” depende únicamente del tipo (sintáctico) libre de cuantificadores de .

Un punto faltante - subir a cardinales más altos…

En la demostración que hice ayer, de categoricidad en ω₁ implica (cuando LS(K)=ω) que la clase K es galois-ω-estable, hubo un punto que faltó: al final del argumento de “EM(J)|L nunca puede satisfacer más de ω tipos sobre un submodelo contable”, recuerde que usábamos que ω₁ es atómicamente ω-estable (es decir, si J subconjunto de ω₁ es contable, entonces hay solo contables cortes de Dedekind en ω₁ sobre J.

 

Esto fue lo que faltó: si dos sucesiones finitas a y b en ω₁ satisfacen los mismos cortes de Dedekind sobre J, entonces existe (I’,<’) que extiende a (ω₁,<) tal que a y b son automorfos en I’. Por lo tanto a y b inducen el mismo tipo de Galois sobre EM(J)|L en N’.

 

En clase ayer me salté este último punto, que es crucial. En ω₁ mismo no se puede concluir que si a y b tienen el mismo corte de Dedekind entonces sean automorfos (pues ω₁ es rígido); sin embargo, consiguiendo un orden suficientemente flexible, lo anterior se puede hacer.

 

Es un ejercicio verificar que el orden I’ = ω₁^<ω sirve.

 

La demostración anterior se puede modificar para ver que categoricidad en λ > LS(K) implica galois-estabilidad en todo el intervalo [LS(K),λ). No es inmediato, pero aparecen también los modelos de Ehrenfeucht-Mostowski EM(J), el uso del teorema de Presentación de Shelah, y el uso de órdenes muy homogéneos κ^<ω.

av

Material de lectura - Clases Elementales Abstractas

Hola a todos,

 

como mencioné ayer, nos basaremos inicialmente en el minicurso que dio Olivier Lessmann en Helsinki en 2005. Lessmann demuestra una versión del teorema de transferencia de categoricidad hacia arriba, suponiendo localidad, amalgamación de la clase elemental abstracta.

 

1. El artículo de Rami Grossberg (el “Bilgi paper“) es una fuente excelente de ejemplos y construcciones.

2. La monografía de Baldwin (ver página web de Baldwin - las versiones cambian con frecuencia) tiene cantidad de cosas importantes. Nos sirve como referencia de estudio.

3. El artículo E-53 de Shelah (del archivo Shelah) tiene discusión de muy alto nivel sobre aspectos de teoría de modelos en clases elementales abstractas.

No olviden: para mañana, demostrar la versión (A5′) del axioma (A5), y construir una cea que no tenga modelos arbitrariamente grandes.

Cambios en programación

Hay un cambio de programación: en vez de seguir ahora con las clases de Alf Onshuus y finalizar con las de Andrés Villaveces, las siguientes semanas serán a cargo de A. Villaveces, y el final del curso será a cargo de Alf Onshuus.

 

En principio, entonces, el calendario de la mayoría de las clases restantes es así:

Andrés Villaveces	Clases elementales abstractas y teoría de modelos de grupos abelianos	27 de septiembre a 27 de octubre (cinco semanas)
Alf Onshuus	Tópicos en teoría de modelos de cuerpos	1 a 24 de noviembre (cuatro semanas)

Los exámenes dos y tres siguen en las mismas fechas: 27 de octubre el segundo examen (Clases elementales abstractas y teoría de modelos de grupos abelianos), 24 de noviembre el tercer examen.

Siguientes sesiones

Esta semana se acaba la primera parte del curso, a cargo de Alex Berenstein (el examen es este viernes 15 de septiembre).

 

La semana entrante es Semana Universitaria.

 

Reanudamos clases el miércoles 27 de septiembre, con cuatro semanas a cargo de Alf Onshuus. El tema es Teoría de Modelos de Campos.

 

Las cuatro semanas de Alf serán las siguientes: del 27 al 29 de septiembre (una semana), y del 11 al 27 de octubre (otras tres semanas). La semana del 2 de octubre Alf estará fuera de la ciudad. Más adelante anunciaremos las actividades de esa semana. Habrá un examen de una hora el 27 de octubre, sobre Teoría de Modelos de Cuerpos.

Javier Moreno habla sobre categorías de Tannaka

Mañana jueves 7 de septiembre Javier Moreno (U. Illinois - Urbana Champaign) hablará en el Seminario de Estudiantes de Postgrado sobre Categorías de Tannaka.

 

Título de la Charla: Categorías exprimidoras de grupos.
Lugar y Hora: Auditorio 202 - Ed. 405 - 4 pm

 

Resumen: ¿Hasta qué punto un grupo está determinado por su categoría de representaciones? Las categorías de Galois y de Tannaka nos brindan respuestas parciales a esta pregunta. En esta charla exploraremos brevemente sus definiciones y presentaremos algunas de sus propiedades más importantes.

Javier Moreno - Rodrigo Peláez

Javier Moreno (estudiante de doctorado de University of Illinois at Urbana-Champaign) y Rodrigo Peláez (estudiante de doctorado de la Universidad de Barcelona) darán dos minicursos la semana entrante. Los minicursos pueden ser vistos como parte del Seminario de Teoría de Modelos, y también como parte del curso Tópicos Avanzados de Lógica (que damos este semestre Alex Berenstein, Alf Onshuus y Andrés Villaveces).

 

Javier Moreno está en Bogotá gracias al programa “Jóvenes Investigadores” del Departamento de Matemáticas, dirigido a estudiantes que están finalizando sus doctorados o a postdocs con doctorado reciente. (Alex Usvyatsov, graduado en 2005 de la Universidad Hebrea de Jerusalén y actualmente postdoc en UCLA, vendrá con el mismo programa entre el 6 y el 15 de septiembre y dará un minicurso que será anunciado aquí.)
Rodrigo Peláez está en Bogotá gracias al apoyo parcial de las Universidades de los Andes y Nacional.
Los minicursos (de tres sesiones de una hora cada uno) tendrán lugar en la Universidad Nacional, en el siguiente horario:

 

1. Teoría de Modelos del Álgebra Diferencial. (Javier Moreno)

   • Lunes 4 de septiembre - 4 pm - Salón 202- Edificio 405.

   • Miércoles 6 de septiembre - 2 pm - Salón 310 - Edificio 405.

   • Viernes 8 de septiembre - 2 pm - Salón 310 - Edificio 405.

2. Teorías G-compactas de Lascar. (Rodrigo Peláez)

   • Lunes 4 de septiembre - 5 pm - Salón 202 - Edificio 405.

   • Miércoles 6 de septiembre - 3 pm - Salón 310 - Edificio 405.

   • Viernes 8 de septiembre - 3 pm - Salón 310 - Edificio 405.

Seminario de Filosofía de las Matemáticas

Este semestre, Fernando Zalamea está llevando a cabo un Seminario de Filosofía de las Matemáticas realmente excelente. En el blog SemFilMat hay mucha información útil (enlaces a sitios relevantes y a trabajos que usan en el seminario). MUY recomendado.

Material - Teoría de Modelos continua

El material principal de referencia en la primera parte del curso es la monografía de איתי בן יעקב, Alexander Berenstein, C. Ward Henson y Alexander Usvyatsov. Haga clic aquí para bajar el material. Esta es la descripción de Henson: This article gives an introduction to the continuous ([0,1]-valued) version of first-order logic and to model theory for metric structures, including such topics as type spaces, definability, imaginaries, quantifier elimination, separable categoricity, stability, and applications to Hilbert spaces, probability spaces, Lp spaces, and probability spaces with generic automorphisms.

¿De qué se trata este curso?

Esta versión del curso de Tópicos Avanzados en Lógica es un curso a seis manos, a cargo de Alex Berenstein, Alf Onshuus y Andrés Villaveces. Hay tres temas distintos, todos en teoría de modelos.

 

Las cinco primeras semanas, del 16 de agosto al 15 de septiembre, están a cargo de Alex Berenstein, y son una mini-introducción a la Teoría de Modelos Continua.

 

Las siguientes cuatro semanas, entre el 27 de septiembre (justo después de la Semana Universitaria) y el 20 de octubre, están a cargo de Alf Onshuus. Alf hará Teoría de Modelos de p-ádicos, o Teorías Dependientes o Teorías Rosy… o algún otro tema por anunciar.

 

Las cinco semanas finales, del 25 de octubre al 24 de noviembre, son a cargo de Andrés Villaveces. Durante estas el tema será una mini-introducción a la Teoría de Modelos de Clases Elementales Abstractas, con énfasis en dos ejemplos importantes: Teoría de Modelos de Grupos Abelianos y Teoría de Modelos de expansiones de campos.

 

Usaremos este blog para hacer anuncios especiales o colgar material relevante al curso.

 

El curso tiene tres exámenes parciales, sobre partes básicas de los temas vistos. Las fechas previstas serán el último viernes de cada parte del curso (en principio, el 15 de septiembre, el 20 de octubre y el 24 de noviembre).